среда, 2 марта 2011 г.

Как нарисовать мозаику из заек


Тесселляция: узор, заплетенный великим двоечником
Заполони пространство
Никто не знает, откуда у человека внутренняя потребность складывать части, чтобы получить единое целое. Искусство мозаики -- очень древнее. Шумеры за тысячи лет до нашей эры украшали ею стены домов. Египетский фараон восседал на троне, усыпанном мозаикой из драгоценных камней. Римляне мостили узорами стены, полы, двери своих домов -- и даже корабли. При раскопках Помпеи нашли пол, в который были влеплены изображения фруктов, овощей и цветов: археологи назвали этот шедевр "неметеным полом". Элементы мозаики встречались у персов, греков, византийцев, арабов, японцев, китайцев… Правда, все это, за редкими исключениями, еще не было тесселляциями. Чтобы узор получился правильным, нужно соблюдать правило: тесселляция -- это мозаика из абсолютно одинаковых форм, которые прилегают друг к другу без промежутков и не перекрывая одна другую. Простые геометрические тесселляции могут состоять только из трех фигур: равносторонних треугольников, квадратов и гексагонов.
Одно из первых изучений тесселляций было сделано Иоганном Кеплером в 1619 г., описавшим правильные многоугольники на плоскости. В 1891-м русский кристаллограф Федоров доказал, что каждая часть такой мозаики построена в соответствии с одной из 17 групп изометрии, то есть существует всего 17 возможных способов размещений фигуры для того, чтобы заполнить ею всю поверхность.
И все они запечатлелись в непостижимых гравюрах голландского художника Мориса Эшера.
Правильный бутерброд
...Однажды Эшер, уже известный художник, ехал в трамвае, и вдруг его окликнула солидная дама: "Маук Эшер?" Первое, чем поинтересовалась постаревшая одноклассница, было: не изменилась ли его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы перед тем, как положить их на хлеб, чтобы получился идеальный бутерброд.
С детства зарисовывание пространства стало для Эшера манией, которой он остался одержим до конца своих дней. Хотя самую большую известность Эшеру принесли скорее не тесселляции, а картины "невозможных миров", в которых переплелись фантазия и логика. "Если бы вы только знали, какие видения посещают меня в ночной тьме... Иногда моя неспособность сделать их зримыми буквально сводит меня с ума".
Морис Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в Леевардене, Голландия, в семье инженера и дочери министра. С детства Маук, как звали его родные и друзья, учился плотницкому делу и игре на фортепиано. Но когда пошел в школу, успевал только по рисованию. Учитель, заметив талант ребенка, научил его делать гравюры. Эшер так и не получил высшего образования, зато брал уроки в Школе архитектуры у Самюэля де Месквита, главного учителя в своей жизни (в 1944-м Месквит был арестован и умер в концлагере. Всю жизнь Эшер хранил у себя эскиз учителя с отпечатком немецкого сапога.)
Побывав с семьей в Италии, Морис решил поселиться на юге. Путешествие в Гранаду и ее загородный мавританский дворец, Альгамбру, определило многое. В деталях скопировав арабские фрески, Эшер навсегда поддался очарованию повторяющихся орнаментов. Первая его тесселляция называлась "Восемь голов".
В Италии Эшер познакомился со швейцаркой Джеттой Умикер. Вскоре они поженились и поселились неподалеку от Рима. В 1926-м родился старший сын, Джордж, в 1930-м -- младший, Артур. Уже тогда Эшер был известной личностью в Европе: на крестинах Джорджа присутствовали король Эммануэль и Муссолини. В 1929-м в Голландии за один год прошли целых пять персональных выставок художника.
Когда в 1935-м девятилетнего сына Эшера заставили носить форму гитлерюгенда, художник понял, что пора покинуть Италию. Семья переезжает в Швейцарию, и без южного солнца Мориса постоянно одолевает депрессия.
Однажды Эшер показал свои тесселяции брату Биру. Бир, профессор геологии, был поражен гравюрами и увидел в них воплощение идей кристаллографии. Он прислал брату список книг, и Эшер увлекся теоретической стороной вопроса. В феврале 1941 года Эшер с женой переехали в Голландию, город Барн. В этом городе он останется до самой смерти.
Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в нескольких популярных журналах. Чуть раньше он становится известен как лектор, а в апреле 1955-го художника посвящают в рыцари. Продажа картин начинает приносить приличные деньги, но Эшер по-прежнему ведет аскетический образ жизни.
К концу дней он не общался почти ни с кем и умер в лютеранской больнице при доме престарелых в возрасте 73 лет.
У ворот волшебного сада
В 1954-м в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. С этого времени вся физико-математическая литература изобилует гравюрами Эшера. Нобелевский лауреат Чен Нин Ян использовал его "Всадника" для объяснения принципов симметрии в квантовой механике.
Работы Эшера -- это потрясающие иллюстрации к математическим идеям периодичности и теории кристаллографических групп, они демонстрируют типы симметрии, применимы в инженерном деле, геологии и криптографии...
А художник смеялся, что ни разу в жизни не получил хорошей оценки по математике и был математически безграмотен. Когда однажды известный геометр Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию о математическом содержании его литографий, художник не понял почти ни слова. Что ж, как писал сам Эшер, "математики находят путь к вратам сада. Но они никогда не заходят внутрь, чтобы оценить его наслаждения".
Найдите путь к его альбомам и загляните в сады Эшера, где растут ящерицы и привидения и бегут вверх-вниз головокружительные лестницы.
Немного фактов о хозяине невозможных миров
* Самая большая картина Мориса Эшера -- "Метаморфозы-2", на которой представлена последовательность 10 трансформаций. Это полотно размером 19 см на 3,9 м.
* Однажды, чтобы найти средства на круиз по Средиземному морю, Эшер обратился в морскую компанию "Адрия". Он предложил гравюры кораблей и портов, которые сделает в пути, в качестве платы за путешествие. В "Адрии" с радостью согласились.
* Как и многие гении, Эшер был левшой. Он рисовал левой рукой, а писал правой.
* Знаменитую серию гравюр "Дни творения" Эшер создал после гибели брата-альпиниста.
* Художник был убежденным атеистом. Старинный шкаф, который остался после его смерти, был украшен фотографиями жены, сыновей, Эйнштейна и Анны Франк. А на полках шкафа стояли почитаемые им кристаллы.
* Когда Мик Джаггер обратился к Эшеру за разрешением поместить на обложку своего альбома гравюру "Вербум", Эшер ему отказал. Это, правда, не помешало другим многочисленным музыкантам без разрешения лепить рисунки Эшера на свои пластинки.
* Создавая "Рептилий", Эшер сначала вылепил фигурку крокодила из пластилина и перемещал ее по столу.
* В наследии Мориса Эшера 448 ксилографий, линогравюр и литографий и больше 2000 рисунков. Из них ровно 137 тесселляций. Последняя, с привидениями, -- решение загадки, присланной математиком Роджером Пенроузом.
Паззлы-шмаззлы
Взяв гравюры Эшера за образец, профессор Стэнфорда Сэм Саваж придумал особый вид паззлов -- "шмаззлы". Все детальки в них имеют форму ящерицы и могут соединяться друг с другом. Меняя их местами, можно получить тысячи разных узоров. Но при этом, чтобы собрать картинку, нужно сложить ящерок в единственно верную комбинацию. Жаль только, что такая интересная мозаика в свое время, 20 лет назад, не нашла своего покупателя. Познакомиться со шмаззлами можно на сайте http://www.shmuzzle.com/shmuzzle/portal.htm.
Коровью морду рисуем сами
Первый компьютер появился почти через десять лет после смерти Эшера. До сих пор трудно поверить, что он рисовал без компьютерной кисти. Нам намного проще, и тесселляции можно создавать с помощью компьютера.
Примерно так:
…на основе треугольника
1. В графическом редакторе нарисуйте волнистую линию.
2. Скопируйте ее и вклейте, развернув на 60 градусов. Получились две стороны "треугольника".
3. Соедините концы фигурных линий и обозначьте центр этого отрезка (после мы отрезок сотрем).
4. До центра этого отрезка из одного его конца нарисуйте еще одну волнистую линию.
5. Скопируйте ее и, развернув на угол 180 градусов, поставьте в оставшуюся часть отрезка.
6. Сотрите прямой отрезок и подумайте, на что получилась похожа ваша трехсторонняя фигура. Превратите ее в рисунок.
7. Скопируйте ее и вклейте снова под углом 60 градусов. Лучше, если копию вы раскрасите в контрастный цвет.
8. Продолжайте заполнять плоскость.
9. Поздравляем: тесселляция готова! Если, конечно, у вас получилось без наглядного пособия.

Татьяна АЛЕШИНА

0 коммент.:

Отправить комментарий