Мы знаем, как вас разоблачат!

Закон Бенфорда позволяет проверить налогоплательщиков на честность

Маленьких вещей на земле гораздо больше, чем больших. Никто не знает, почему это так, но практичные американцы сумели извлечь из этого необъяснимого факта свою выгоду -- они научились, опираясь на эту закономерность, раскрывать финансовые преступления: ведь на деньги и товары закон преобладания малого тоже распространяется...
Долгая дорога к двум
Фрэнк Бенфорд опубликовал свое открытие в 1938 году. Закон, который он вывел, проанализировав больше двадцати тысяч самых разных числовых массивов, гласит, что в любой последовательности чисел, описывающей динамику какого-либо процесса или множество каких-либо объектов, числа, начинающиеся в записи с единицы, встречаются много чаще всех других. Приблизительно каждое третье число в массиве, по утверждению Бенфорда, начинается с единицы, но при этом чем больше числа, тем меньше среди них начинающихся на "1".
Открытие Бенфорда, как и многие открытия в истории, было в значительной мере случайным -- он взял в библиотеке книжку с таблицами логарифмов (сейчас, в эпоху микрокалькуляторов, о них почти забыли, а в те годы такие таблицы были необходимостью) и, листая ее, заметил, что особенно много следов чтения хранят первые страницы книги -- те, на которых помещались логарифмы чисел, начинающихся с единицы. Выходило, что большинство листавших книгу интересовали именно такие числа.
Странная популярность единицы заинтриговала Бенфорда, и последующие несколько лет он посвятил изучению самых разных числовых рядов: статистики американской бейсбольной лиги, всех цифр из изданий "Ридерз Дайджест", атомных весов элементов, счетов за электроэнергию на Соломоновых островах... Везде он видел существенное преобладание единиц над всеми остальными цифрами.
В итоге Бенфорд не только сформулировал закон о преобладании единицы, но и вывел формулы, которые позволяют рассчитать частоту появления каждой цифры в начале числа в том или ином числовом массиве. На первом месте единица с вероятностью в добрых тридцать процентов, на втором -- двойка (вероятность -- 18%), реже других в начале числа появляется девятка -- вероятность для нее составляет только 4,6 процента.
Закон Бенфорда до сих пор привлекает исследователей чисел. Он работает везде, где только ни ведется счет: демографические данные по 3 141 округам США, количество акций, проданных на бирже, динамика рынка бытовой техники...
Многие математики сомневаются в справедливости заключений Бенфорда. Они привыкли к неподкупным законам теории вероятности, для которой все цифры одинаковы. Ведь значение числа на шкале от нуля до бесконечности возрастает равномерно -- почему же тогда в записи данных тех или иных подсчетов цифры участвуют так по-разному?
Все дело в том, отвечают сторонники Бенфорда, что при подсчете имеются в виду не математические абстракции, а вполне конкретные предметы. На абстрактной шкале натуральных чисел двойка отстоит от единицы не дальше, чем шестерка от пятерки, но для реальных вещей, сосчитанных, измеренных или взвешенных, путь от одного до двух очень долог. Чтобы его проложить, количество (вес, размер, и пр.) вещей должно вырасти вдвое. Пятерке же, для того чтобы превратиться в шестерку, нужно прибавить всего лишь пятую часть уже имеющегося. Еще меньше шаг от 9000 до 10000. Но потом, для того чтобы в первом порядке единица изменилась на двойку, опять понадобится много времени и сил. Таким образом, все, что растет в числе, размере, весе или цене, достаточно долго остается "в области единицы".
Только в 1986 году физик Дон Лемонс обратил внимание на простое обстоятельство, которого наука прежде не замечала: луж больше, чем прудов, а прудов больше, чем океанов. Из этого следует, что водоемов площадью от 10 до 20 аров (гектаров, квадратных километров и пр.) больше, чем площадью от 20 до 30 аров, а площадью от 100 до 200 аров больше, чем площадью от 200 до 300 аров -- и так далее. Все тот же закон Бенфорда!
Можно сказать, этому закону подчиняется весь мир -- во всяком случае, на Земле. Ведь гальки больше, чем валунов, и вообще маленьких вещей больше, чем больших. Почему так повелось, это уже другой вопрос...
До самого последнего времени никто не мог придумать, какую практическую пользу мог бы приносить закон Бенфорда. Пока американскому математику Марку Нигрини не пришло в голову, что подчиняться этому закону должны и цифры в налоговых декларациях и таким образом легко можно определять подтасовки и фальсификации в них.
Махинаторы всех стран, предохраняйтесь!
Нигрини проанализировал на компьютере более двухсот тысяч налоговых деклараций и увидел, что в аутентичных отчетах и в самом деле почти каждое третье число начинается с единицы. Затем он разработал программу для проверки числовых массивов на соответствие закону Бенфорда, которая была испытана в 1995 году. Нью-йоркской налоговой полиции то испытание помогло разоблачить семерых налогоплательщиков, скрывающих доходы. Между прочим, "из любопытства" Марк Нигрини протестировал с помощью своей программы налоговые декларации семьи Клинтонов за последние шестнадцать лет и не обнаружил там никаких несоответствий.
Применение закона Бенфорда произвело переворот в деле контроля за доходами граждан -- прежде контролеры могли проверять цифры в декларациях лишь выборочно, компьютер же способен анализировать практически любое количество информации и моментально проверяет все цифры даже в декларации какой-нибудь крупной интернациональной корпорации. Если машина замечает какие-то отклонения от закона Бенфорда, плательщика начинают проверять инспекторы -- более конкретно. Впрочем, программу Нигрини используют не только контрольные органы -- иные крупные фирмы, например, "Тексако" или "Филипп Моррис" тоже купили себе ее копии -- надо полагать, если они захотят фальсифицировать декларации, они будут иметь закон Бенфорда в виду.

Виктор ГЕНЕРАЛОВ
По материалам журнала "Шпигель"